一：在动手操作中初步感悟等腰三角形的性质，达成数学核心素养中的实践思想

《数学课程标准》中要求“注重培养学生探究、交流、创新能力”，凸显“以学生为主体，教师为主导”的以学生为本的教育理念。让学生在动手操作、独立思考中激发学生的求知欲，从而产生学习数学的兴趣。下面以《等腰三角形》一课的教学实录，来解析数学核心素养的培养。

（一）体验探究,大胆猜想

师：小学我们学过三角形，同学们都知道哪些特殊的三角形？

生：直角三角形、钝角三角形……

师：今天我们来学习其中的一种特殊的三角形---等腰三角形。请同学们按下面步骤进行操作；把一张长方形的纸片按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把减掉的阴影部分展开，得到什么形状的纸片？

     （学生动手剪纸，得到三角形）

师：同学们再把三角形沿着中间的折痕对折，试试找出其中重合的线段和角。

并思考下面的问题：1.剪出的三角形ABC是轴对称图形吗？为什么？它的对称轴是什么？2.重合的线段和角有什么大小关系？3.通过实验，由这些重合的线段和角，你能猜想等腰三角形有哪些性质？

    学生分小组合作探究，大胆猜想等腰三角形的性质……

设计意图：本次实践活动中学生动手自制学具，通过实践活动使学生增强对图形的直观体验，从中体会等腰三角形的特性，培养空间观念，调动学生的主观能动性。等腰三角形性质的探究，是结合轴对称来进行的，所以受剪出等腰三角形的过程的启发，学生很容易想到它是一个轴对称图形，让学生认识到动手操作也是一种验证方式。

（二）动手实验，实践印证

师：如下图，请同学们按如下操作：将三角形纸片(AB>AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到（如图②）．请同学们判断的形状？并说明理由．

                 图①                      图②

解：△AEF是等腰三角形

∵将△ABC沿AD翻折

∴∠BAD=∠CAD  

∵将△ABC翻折使A、D 重合且折痕为EF

∴ EF垂直AD

∴△AEG≌△AFG

∴AE=AE

∴△AEF是等腰三角形

设计意图：学生在探究中享受“做数学”的乐趣，不同层次的学生均有收获，收获了极大的成功的喜悦，而教师适时的鼓励增强了学生的信心。传统的数学教学，发现解决问题的思维轨迹往往被掩盖，数学实验恰是引导学生亲身体验数学发现的过程，能凸显手脑协同、启思明理的数学实验的核心价值，是激发学生学习数学的有效途径。

二：在分类讨论中深化理解等腰三角形的本质，形成数学学科素养中的分类思想

分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化，而分类的过程，还可培养学生思考的严谨性。下面还以《等腰三角形》一课进行阐述。

例如在解决与等腰三角形的边长有关的问题时，若题目中没有明确告诉哪条边是腰，哪条边是底，往往要进行分类讨论，而判定结果是否正确的依据是三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。在分析的过程中，学生需要积极思考哪种方法最合适，因此学生自然而然地就认识到分类讨论思想能使复杂的问题简单化。

例如下面习题： 

1.(1)等腰△ABC的一条边长为3,另一条边长为5，其周长为_______ 。（此题也是两种情况，当要为3时，另一种是腰长也可能为5）；

(2)等腰△ABC的一条边长为3,另一条边长为7， 其周长为____。（此题虽然是按两种情况进行讨论，但按三角形三边关系进行判断，结果只有一种情况）

2.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和15cm两部分，求这个等腰三角形的底边长是多少？

               图① 图②

分两种情况讨论：

(1)如图①，等腰△ABC中，当AB＞BC时，设BC=xcm,则AB=(x+3)cm时，则：

2（x+3）+x=27

解得：x=7

此时底边长为7cm。

（2）如图②，等腰△ABC中，当AB＜BC时，设BC=xcm,则AB=(x-3)cm时，则

2（x-3）+x=27

解得：x=11

此时底边长为11cm。

通过上述习题，让学生作为课堂的主人，在解决问题的时候往往能表现出很大的创造性，我们教者应努力做到尊重学生的思考，鼓励不同意见。学生的学习在其独立思考与合作交流过程中，获得知识，提升解决问题的能力，体验分类讨论思想。

三．在建模中挖掘等腰三角形边角之间的关系，形成数学学科素养中的方程思想

方程的思想是分析数学问题中变量间的等量关系，用数学语言将问题中的条件转化为数学模型，建立方程或方程组，通过解方程去转化问题，使问题获得解决。利用方程的思想能降低思维难度，简化解题思路。

（一）求角问题

已知：如图①，在中，，点D在BC上，且。求各角的度数。

解：设∠A=x

∵AB=AC,BD=BC=AD

∴∠ABC=∠C,∠A=∠ABD,∠BDC=∠C

∵∠BDC=∠A+∠ABD=2x=∠C

由三角形内角和定理可得：

x+2x+2x=180

解得：x=36

∠ABC=∠C =2x=72

所以各角度数为36、72、72.

图①                          图②

变式:如图②，已知：中，，D是AC上一点，且，求的度数。

分析：题中所要求的是的底角，但仅靠是无法求出来的。因此需要考虑和在题目中的作用。此时图形中有三个等腰三角形，既有满足内角和定理，又包含外角关系。因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求。

解：设∠A=x

∵，∴

∵，∴；

∴，∴所以（等边对等角）

又∴  

∴

 ∴

又∵

    即    

x+x+3x=

解得：x=36

3x=108

    即求得

变式练习主要是让学生学习几何说理的逻辑性，熟悉性质的用法及说理的严密性，规范解题格式。通过对“难题”的深入研究，找到解决难题的解题方法，把难题教的简单，这样学生就会爱好数学，愿意学习数学。

四．在思维迁移中解决等腰三角形中的运动变化问题，形成数学学科素养中的化归思想

化归思想是指在教学研究中，使一种研究对象在一定条件下转化为另一种研究对象的数学思想。体现在数学学习中，就是将原问题进行变形，使之转化为我们所熟悉的或已解决、易于解决的问题。

例如：(1)猜想一下，等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？如图①：将等腰三角ABC沿对称轴折叠，观察DE与DF的关系，并证明你的结论。

等腰三角形是轴对称图形 ，可以借助轴对称变换来研究等腰三角形的一些特性。将等腰三角形的问题可以化归到轴对称问题加以解决。

（1）如图①已知：在中，AB=AC,点D是BC的中点，DE⊥AB于E, DF⊥AC于F                            

求证：DE＝DF

        ①                ②                 ③ ④

（1）证明：∵AB=AC，D为BC中点

      ∴∠BAD=∠CAD

∵DE⊥AB ,DF⊥AC

∴∠AED=∠AFD=90

在Rt△ABD和Rt△ACD中

Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)

∴DE=DF

因为等腰三角形是轴对称图形，所以△ABD和△ACD关于AD呈轴对称，

线段DE和线段DF也关于AD对称，所以DE与DF相等。

（2）如图②：如果DE、DF分别是AB,AC上的中线（或如图③∠ADB, ∠ADC的平分线），它们还相等吗？请说明理由。

答：相等。

理由：由（1）可知：△ABC是轴对称图形，△ABD和△ACD关于AD呈轴对称，因而，线段DE和线段DF关于AD对称，即DE=DF。

由等腰三角形是轴对称图形，利用类似的方法，还可以得到等腰三角形中哪些相等的线段？

（3）如图④将点D沿DA由D向A运动到，那么点到两腰的距离还相等吗？ 试说明理由；

  答：相等。

理由：△ABC是轴对称图形，△ABD和△ACD关于AD呈轴对称，由如图④△和△关于AD呈轴对称图形，那么线段与线段相等。

   等腰三角形性质的探究，都是结合轴对称来进行的。在图① 的基础上，将问题进一步演变，形成了图②、图③、图④，使问题进一步深化，也使学生的思维由形象直观过渡到抽象的逻辑演绎，从而训练学生将图②、图③、图④的解题思路转化为图①的解题方法，实现培养学生化归的思想教育。

总之，要使学生真正形成数学学科核心素养，就要求教师首先把数学思想烂熟于心，在教学中灵活变换，好的教学设计，不仅能把几种典型的题通过变式，使学生透过现象看本质，并在潜移默化中掌握数学的精髓，从而建立起学生自我的“数学思想”系统，进而形成数学学科的核心素养。

参考文献：

[1]让数学核心素养在教材、教学和训练中落地生根   中学数学教育（初中版）

                                                             2017（3）

[2]数学实验教学是培养数学核心素养的有效路径     中学数学教育（初中版）2017（10）

[3]试析化归思想在初中数学教学中的应用                  中国校外教育

2019（35）

[4]化归思想在初中数学教学中的应用                  数学大世界(下旬)

2019（10）

[5]构造全等三角形解题                                  初中数学教与学

2021（02）

[6]浅谈初中数学教学中情景教学的有效应用                  新课程（中）

2018（06）