该项目得到河南省教育科学规划一般课题（2022YB0320），河南工程学院教育教学改革项目（2021JYZD003）支持

1. 引言

费马原理通常又叫最短光程原理^[1]，其具体表述为：PQ两点间光线的实际路径，是光程（PQ）为平稳的路径。其含义为光在P、Q两点间传播的可能实际路径，是光程为极值的路径。所谓光程，其定义为光所行进的几何路径乘以其几何路径所在空间的折射率。如图1所示，设光线经过不同的介质，由P经N、M到Q，分别为光线第i种介质中的路程和折射率，则光程l_PNMQ=，若介质折射率连续变化，则光程l_PNMQ=。费马原理用数学语言可以表示为光程的变分等于0，既：δl_PNMQ=0，一般可认为是光程取最小值^[2]。

费马原理由于其简洁和深刻处于几何光学中最基础和重要的地位^[3-7]。然而目前人们关于几何光学规律的推导大多基于几何光学三大定律——光的直线传播规律、反射定律和折射定律——而弱化费马原理在实际问题中的应用。本文首先从费马原理出发阐述几何光学三大定律，然后以一个简单的几何关系辅助费马原理推导光在球面上的折射和反射成像规律。

2. 由费马原理出发阐述光学三定律

2.1光在均匀介质中沿直线传播

均匀介质中，由费马原理可知，连接两点之间的光程以线段最短。因此，光在均匀介质中沿直线传播。

2.2 光的反射定律

 考虑一束光线从A点射向镜面MN并反射至B点，由费马原理得光线在经由镜面反射到B点过程中沿着最短的路径进行传播。因此，可以在镜面MN的另一面找到一个B的对称点C，则光由A点出发入射至AC于MN的交点F再反射回B的路径为最短，如图2所示。而由三角形两边之和大于第三边的公理可知，光线经由镜面其他点反射至B的光程都会大于经由F点反射对应的光程。由三角形几何关系可得出∠AFM=∠CFN，而∠CFN=∠BFN，则∠AFM=∠BFN，进而得到∠AFD=∠BFD，由此可总结得到光的反射定律：当光从一种均匀介质入射到另一种均匀介质表面并发生反射时，入射光线、法线、反射光线在同一平面，且入射角等于反射角。

2.3 光的折射定律

考虑一束光线从介质1中A点入射进介质2中B点，光线经过交界面C点，过A点作垂线至交界面D点，过B点作垂线至交界面于E点，令AD=h₁，BE=h₂，DE=p，DC=x，则易得出光程，其中n₁、n₂分别为上下两种介质的折射率。式子对x求导，得，由费马原理可知，光程的极小值条件的数学形式为，由此得出，由此可得光的折射定律：当光从一种均匀介质入射到另一种均匀介质并发生折射时，入射光线、法线、折射光线在同一平面内，且入射角i₁、折射角i₂以及两种介质的折射率n₁、n₂满足如下关系:

其中为介质2相对于介质1的相对折射率， ，任一介质中的折射率与光速的关系为，v为光在介质中传播的速度，此处的n为介质的绝对折射率，真空绝对折射率定义为1，故光程可理解为与在介质中传播的相同时间内光在真空中传播的距离。

3. 由费马原理和一个几何关系推导傍轴情况下球面折射和反射成像规律

首先须知一个几何关系^[8]，具体如下：若有一个高度（h）很小，而另一直角边（d）很长的直角三角形，则如何求出斜边s比直角边d长多少呢？

设差值这将是在利用费马原理推到成像公式中所要用到的唯一几何关系。

如图5所示，光线从左边折射率等于1的介质中射入右边折射率为n的凸球面，发生折射并成像，成像条件为光线沿OPO’路径的光程等于沿OVO’的光程。其中O为物点，V为凸球面顶点，C点为凸球面的圆心，r为半径，PQ为主光轴的垂线，Q为垂点。成像公式推导如下

设光程PO=s，PO’=s’，垂线PQ=h，由费马原理可知

4结论

本文首先从费马原理出发阐述了几何光学三大定律，并通过一个简单的几何关系对近轴光线的球面折射和反射成像公式进行了简洁的推导。进一步地，在符号规则的规定下，发现光的傍轴球面折射和反射分别可以用同一个公式概括。本文的阐述和推导过程充分体现了费马原理在解决几何光学问题中独特的优势和广泛的适用性。合理利用费马原理不仅可以对几何光学各定律进行更简明和直接的推导，而且从同一定律出发使光学成像公式有了统一的数学表达，其物理含义更加自然和深刻，有助于激发学习者的兴趣。由于推导过程没有涉及微积分，因此本文更有助于加深微积分基础较薄弱的高中生和低年级本、专科生对几何光学的理解并促使他们进行更为深入地思考。

参考文献：

[1] 波恩, 沃尔夫. 光学原理: 光的传播、干涉和衍射的电磁理论[M]. 北京: 电子工业出版社, 2009: 115-117.

[2] 赵凯华. 新概念物理学教程光学[M]. 北京: 高等教育出版社, 2004: 19-21, 36-43.

[3] 万建杰, 邹佳兵. 费马原理在球面界面理想成像中的应用——主轴外物点[J]. 大学物理, 2017, 36(6): 28-30, 35.