序化教学是指在数学教学中，教师要建立序化意识，即深度解读知识体系，科学遵循学情发展，有效地将知识结构化、教学有序化、思维可视化的意识。本文以《线段、直线、射线》（下文简称“本课”）为例，在序化意识下的数学课堂教学凸显了教师对教材深度的解读，着力于学生深度思维的培养。采用动态教学方式打破了传统数学课堂中静态、固化的教学形式，收到事半功倍的教学效果。

一、检索对比——教材动态解析，寻知识之序

通过检索相关期刊，发现本课课时名在不同教材版本中的表述存在差异，主要体现在三种线的先后顺序上。除了“线段、直线、射线”这一表述外，还有“线段、射线、直线”和“直线、射线、线段”这两种表述。本文进一步探究了这些差异背后的缘由，以及基于什么样的考虑而产生的。

表1 “线的认识”多版本对比

在小学阶段，不同教材对三种线的认识内容，大致有两种编排情况：一种情况是将“线的认识”的内容全部安排在第二学段，作为单元的起始课，随后安排“相交、平行”、“角的认识”等相关知识；另一种情况则是将“线的认识”的内容安排在两个学段，在第一学段伴随着对长度单位的学习先认识线段，随后在第二学段再进行射线、直线等的认识。^[1]

相比之下，中学阶段教材的课时名则非常一致，都是“直线、射线、线段”，人教版七年级上册表述为“直线的基本事实：两点确定一条直线。”“射线和线段都是直线的一部分”。因为在欧氏几何中，直线是原始概念，线段和射线都是基于直线概念，因此这种编排方式完全符合欧氏几何的知识逻辑，同时也遵循了从整体到局部的教学原则。

那么，小学阶段的教材为什么要调整三种线的认识顺序呢？

原因一：从“虚”到“实”，贴近学生的思维原点。

严格来说，实际生活中并不存在数学上定义的“线段、直线、射线”，这些抽象的概念本身是不存在的。而且射线和直线涉及无限的概念，对于低年级的学生来说不太好理解。因此，各版本的教材都使用了生活中具体的实例，例如“拉紧的线、绷紧的弦（人教版）”、“景观灯射出的光线（苏教版）”、“拉索桥、激光、地平线（北师大版）”等，来引导学生感受三种线在生活中的原型，以帮助学生完成从实物到几何图形的抽象，培养他们的空间想象力。

原因二：从“一”到“三”，符合学生的思维发展。

纵观小学一至六年级“图形的认识”中，一般按照“点、线、面、体”的顺序来整理。教学内容基本按照“三维、二维、一维、二维、三维”的顺序来安排。第一学段侧重于生活中的事物，从整体上感知三维和二维图形的差异与特征。第二学段则是关于一维“线”的认识，相对于生活中熟悉的三维立体图形和二维平面图形，线更为抽象，学生更难以理解。此外，在日常生活中，人们看到的物体都是立体的。“点、线、面、体”是从立体图形中抽象出来的概念，点不分大小，线不分宽窄，面不分薄厚。^[2]

《数学课程标准（2022版）》（下文简称“新课标”）第二学段“图形的认识与测量”内容要求学生通过实例了解线段、射线和直线，并能够说出它们之间的共性和区别。值得注意的是，这一内容是放在第二学段教学，强调了在建立基本数学概念的同时，培养学生观察能力和探究精神的重要性。另外，教材中也按照新课标要求对知识体系进行了有序的安排，将线段、射线和直线的概念表述顺序进行了调整，从而更好地满足学生认知的发展规律。

二、数据分析——学情动态定位，循认知之序

要实现有效的课堂教学，关键在于把握学情。然而，目前对学情分析的研究还没有形成完整而独立的认识。传统教学中，教师对学情的判断通常基于个人教学经验，单一而主观。智能协作采用数据分析对学情动态定位，旨在遵循学生的思维规律解决数学过程中，让学生的思维沿着由低到高，由浅入深的优化程序而步步推进。为此，笔者采用前测、访谈和再测等方法，展开学情精准定位、动态辨析。

表2  四年级一个教学班前测结果

线段和直线的表征正确率都是100%，射线表征正确率约31%。线段的正确率能够达到100%在预期之内，因为学生在二年级已经能够识别线段，从直观上知道什么样的图形是线段，并且在学习长度单位时理解了线段的可测性，能够画出指定长度的线段。然而，为什么直线的表征正确率也是100%呢？这可能与学生在日常生活中已经接触过直线的相关概念有关，但需要进一步了解他们对直线的理解程度以及对线段和射线的区别。

图1 前测中约 40%学生的“三线”画法

为什么有约40%学生把直线画成水平的、将射线画成斜的呢？笔者经过进一步的访谈（见图2）“你认为什么样的线叫线段？直线、射段呢？”原来学生普遍认为“直直的线就是直线”，认为“斜着的长长的叫射线”“一头可以变长的线叫射线”，却没有提到直线可以“向两端无限延伸”的本质属性。同时，也对五年级部分学生进行了访谈。

图2 四五年级部分学生访谈情况

基于以上学情，本课学习主要难点集中在以下2点：

难点1：对“无限性”的理解。

学生对“无限”这一概念有一定的认知基础，比如知道没有最大的自然数，因为自然数可以一直数下去，数不到头。然而，直线、射线和自然数并不一样，因为最大的自然数本来就无法被观察到，所以说它是“无限大”的，而直线和射线是可以被我们的眼睛观察到的。因此，要将我们眼睛看到的“有限”想象成“无限”，这一点有些难以理解。

难点2：对表征形式的理解。

我们不能只依靠“线的长短”或“线上点的个数”来判断线的类型，而是要体现出“能否继续延伸”为要求，在有限的平面中表示出线段的“有限”、直线射线的“无限”，以及射线“无限”的方向性，即数学化地表征这三种线，这一点也有些难以理解。

三、实时互动——学程动态体验，立思维之序

基于以上对教材的概念逻辑、学生的认知基础和难点，为了让学生更好地理解线段、直线、射线等概念，笔者采用了以运动为角度的实例，让学生亲身经历线段的形成过程，感受线段的“有限性”，从而引出直线、射线的“无限性”和射线的“方向性”，并结合信息技术充分发挥学生的主体性和积极性。

1.点动成线，聚焦“有限”，让思维显性

借助“比划”动作，将概念形象化，使学生体会运动轨迹会形成各种弯的、直的线。以运动的角度再次经历认识线段，这不是简单的重复，而是对有限的深化。只有充分理解了“有限性”，才有利于“无限性”的理解。^[3]

【片段1：“线段”】

动一动：欣赏3个短视频，并用手比划出物体的运动轨迹。

画一画：在纸上画一个点A，再画一个点B，然后画出点A到点B的运动轨迹，并用平板拍照上传。

说一说：和同桌说一说你的点是如何移动的？

图3  动态擦出运动轨迹、平板收集学生画的线段

首先，学生画出两个点再将它们连起来。然后，同桌互相说出“从哪里出发，向哪个方向，移动到哪儿停止”，让学生更好地理解线段的形成过程。接下来，让学生用尺子量一量线段的长度，明确端点的作用，即用来表示停止或起始点。虽然线段长短不一样，但都“有头有尾”，因此它们的长度可量出，直观感受线段的“有限性”。

2.点动连线，想象“无限”，让思维发散

无论是一个端点移动，还是两个端点同时移动，连起来仍然是线段，可以用尺子量出长度。但如果点一直移动，一刻不停呢？这是突破“有限”的关键思考。让学生动态地想象点的“无限”运动，产生线的“无限”延伸，从有限长的线段迈向无限长的直线。如同“夸父追日”，移动的点一直运动，连起来的直线也一直延伸，没有尽头。让学生感受从可测到不可测，从可画到不可画的过渡。

      【片段2：“直线”】

动一动：（课件动态演示）移动端点A/B，向左/右移动，然后把它们连起来，再量一量长度。

想一想：如果端点A和B一直向两边移动，会形成怎样的线？

画一画：把想到的线画下来，并和同桌说一说为什么这样画。

图4 大屏互动演示“点动连线”过程

学生利用平板拍照上传自己画的直线，以技术支撑学生表达，如：有学生用箭头、虚线、穿出端点或不画端点来表示可向两端无限延伸的直线。在充分的动态想象下，在思维交流过程中，促使学生感悟与表达，从生活化的表述慢慢转变为数学化的认知，继而达成数学化的表征。

3.点线联动，对比强化，让思维延伸

回顾画“线段、直线和射线”的过程，以运动的观点想象“点是否停止移动”来判断“线的延伸情况”。在动态过程中，让学生理解点的3种不同点移动的组合方式：2点停止形成“有头有尾”的线段，2点不停止形成“无头无尾”的直线，1点停止1点移动形成“有头无尾”的射线。当点停止移动时，就形成了端点。只有当点不断移动时，才形成可无限延伸的直线和射线。

表3 三线特征的联系与区别

通过表格整理三线特征，对比明晰之间的联系与区别，并让学生以“扮演”的形式，体会因射线和直线可“无限延伸”所以都不可测量。同时，通过课件推送、微课自学，再画一画三种线，清晰概念、巩固技能。

图5 大屏对比展示学生作品

继而同屏对比，让学生发现作品中的差别之处，如射线DC的端点只能是D，表示由点D开始向一个方向延伸。在引导学生亮出差错后，让学生之间进行比对与争辩，培养学生正误对比间的差错分辨能力，如此让出错的学生和未出错的学生都获得提升。^[4]利用学生的生成性资源，在情感支持下进行“化错”，让“化错”发生的更自然。最后通过“想一想：数学中的线段、直线、射线”，体会“三线”本为一体，线可以看成是由无数个点组成的。

图6 在角中、直线中找射线和数射线、线段

智能协作，帮助学生通过“运动”的角度理解线段的“有限性”、直线和射线的“无限性”以及射线的“方向性”，把动态的想象“点的移动”、“线的延伸”和静态的图形相结合，让抽象的数学概念化为具体，使之更符合学生的认知特点，更利于深入理解数学概念。“教无定法，贵在得法。”智能协作下的小学数学课堂更显序化意识，把传统的静态教学变得实时动态，同时倡导教师选择适宜的教学素材，寻找知识点的逻辑顺序，遵循学生的认知顺序，以学生的发展为目标，有效提升学生数学深度思维的能力。

【参考文献】

[1]马云鹏.小学数学课程标准与教材研究［Ｍ］.北京：高等教育出版社，2016.

[2]史宁中.基本概念与运算法则［Ｍ］.北京：高等教育出版社，2013.

[3]刘善娜. "无限性"该如何引入[J]. 小学数学教师, 2015(6):4.

[4]唐玉玲. 慧眼识"错",化"错"为美[J]. 教育界, 2017(26).